课题类别：广州华商学院特色项目
课题名称：热弹性力学方程组的定性性态研究
课题编号：2024HSTS09
项目负责人：石金诚
所在单位：人工智能学院
项目背景
热弹性力学是固体力学的一个重要分支，研究材料在受到热载荷和机械载荷共同作用下的响应。热弹性板模型在工程和物理应用中具有重要意义，特别是在航空航天领域，能够近似模拟飞行器结构在极端热环境下的行为。传统的热弹性力学研究多基于Fourier热传导定律，但该定律假定热传播速度是无限的，导致“导热悖论”。为了解决这一问题，物理学家引入了Cattaneo热传导定律，考虑了热波传播的有限速度。此外，分数阶微积分在描述具有记忆效应和路径依赖性的热力学过程中展现出巨大潜力，为热弹性力学的研究提供了新的视角和工具。
研究成果
本项目深入研究了两类分数阶热弹性板方程组（Fourier模型和Cattaneo模型）的定性性态，取得了以下主要成果：
1.线性模型的渐近表达式与衰减估计
推导出分数阶热弹性板方程组的渐近表达式，利用Fourier分析和WKB方法，精确描述了解的大时间渐近轮廓得到了解的衰减估计，揭示了低频区域和高频区域内解的性态。
2.奇异极限关系
通过引入变量变换与奇异摄动理论，严格证明了松弛系数趋近于零时两类模型解的收敛性。
3.非线性模型的整体解存在性与爆破准则
在小初值条件下，证明了弱耦合非线性热弹性板方程的整体解存在唯一性，并优化了临界幂指数条件;利用检验函数法与乘子迭代法，建立了局部解的爆破准则，确定了临界指标的四维曲面形式。
4.学术论文发表
项目进行期间，公开发表论文6篇，包括SCI和CSCD期刊。主要成果如下：
【1】石金诚等.带不同幂次型非线性项的半线性三阶发展方程整体解的存在性与爆破[J].数学物理学报, 2024, 44(06): 1550-1562.
【2】石金诚等. Phragmén-Lindelöf Alternative Results for the Linear Viscoelastic Damped Wave Equation[J].应用数学, 2025, 38(2): 508-516.
【3】Jincheng Shi, Shuman Li, Cuntao Xiao, and Yan Liu. Spatial behavior for the quasi-static heat conduction within the second gradient of type III[J]. Electronic Research Archive, 2024, 32(11): 6235–6257.
【4】Qing Naiqiao, Shi Jincheng, and Yunfeng Wen. Spatial Decay Estimates for the Moore–Gibson –Thompson Heat Equation Based on an Integral Differential Inequality[J]. Axioms, 2025, 14: 265.
【5】Jincheng Shi and Yan Liu. Spatial decay estimates for the coupled system of wave-plate type with thermal effect[J]. AIMS Mathematics, 2025, 10(1): 338–352.
【6】石金诚等.相互作用的Brinkman-Forchheimer方程组与Darcy方程组的结构稳定性[J].应用数学学报,2024,47(03):386-401.
学术价值与创新点
（1）首次系统性地研究了热弹性板方程中Cattaneo定律和Fourier定律对模型整体解性态的影响，发展了经典的奇异摄动理论，处理了初始层中解的渐近性态。
（2）克服了奇异性与振荡积分对热弹性板耦合系统解渐近性态研究的困难，首次较为完整地考察了分数阶热弹性力学方程Cauchy问题解的性态，给出了整体解轮廓的精细刻画。
（3）在热弹性板方程中，较为完整地考察了弱耦合和强耦合非线性项，尤其是在低正则性条件下研究了整体解的存在唯一性，为后续在其他热弹性力学方程组中考察多项式型非线性的作用奠定了技术基础。
应用前景
本项目的研究成果不仅丰富了非线性热弹性力学模型的数学理论，还为航空航天、材料科学等领域的热弹性问题提供了理论基础和技术支持。通过深入理解热弹性板模型的解性态，可以更好地指导工程实践，提高材料和结构的设计精度和可靠性。
