广州华商学院特色科研项目成果公报：洪勇（2024HSTS08）

课题类别：广州华商学院特色科研项目

课题名称：加权Lebesgue空间超齐次核算子的理论与应用

课题批准号：2024HSTS08

所在单位：人工智能学院

课题组成员：洪勇、张丽娟、赵茜

一、项目研究的目的和意义

1、研究目的

调和分析起源于具有广泛应用的Fourier分析，其核心问题是一个函数的Fourier级数及Fourier逆变换积分在何种意义下收敛于该函数,该函数的光滑性对此有何影响,对这些问题的深入研究，导致对某些函数空间上各种辅助奇异积分算子有界性的研究及相关算子不等式的研究。

欧几里得空间上的调和分析及有关奇异积分算子的研究目前已取得了较完整和丰富的结果.但在流形和齐性空间上的理论的研究还很不够。调和分析及有关奇异积分算子的研究向齐性空间和流形等空间上发展,是当前国际上令人瞩目的一个重要趋势。自从二十世纪七、八十年代以来,各国学者对调和分析的理论及奇异积分算子研究做了大量的工作，他们的工作具有明显的方向性，既涉及一些具体的流形如球面、曲线等，也对一般流形及齐性空间进行了一些讨论，同时对这些空间中有关有界算子的结构特征、算子有界的等价参数条件及算子范数表达公式进行了探索。

我国在这个方向的研究虽然取得了不错的成绩，但还远远不够不够。本申请人多年来，与北京师范大学王昆扬教授等合作进行了关于球面调和分析理论的研究，特别是对球面上变阶分数次积分算子等奇异积分算子的研究、齐性空间中位势算子的研究方面取得了一系列有价值的成果。近些年来，项目组成员洪勇、张丽娟、超茜与相关学者合作，在加权Lebesgue空间和加权Hilbert型空间中对Hardy型和Hilbert型奇异积分算子和离散算子理论的研究取得了丰富的结果，在国内外发表了诸多论文，其中60余篇被SCI收录，30余篇发表在国内“中国科学”、 “数学年刊”、“数学学报”、“数学进展”等权威期刊上. 虽然部分结果被推广到齐性空间中，但流形及齐性空间上算子理论的研究还是很不充分的，本课题的目的是，在已取得成果的基础上，引进超齐次核新概念，进一步探讨超齐次核算子的最佳搭配参数条件和有界算子的构造理论。

2、研究意义

拟采用权系数方法和现代实分析方法对调和分析中的重要算子：Riese位势积分算子、Littlewood-Paley g-函数的交换子、Hardy型积分算子和序列算子、Hilbert型积分算子和序列算子在某种意义下的有界性及范数问题展开研究，并在此基础上分析其算子核的共同特征，引入更具普遍意义的超齐次核概念，在一定的条件下探讨超齐次核核诱导的算子的Lipshitz有界性、（p,q）有界性、范数刻画并进一步探索各类算子结构特征和有界的参数条件和等价性质，同时将把有关结果推广到高度抽象化的具有广泛应用背景的齐性空间、Morrey空间及流形等空间中去。这些研究在调和分析、奇异积分方程理论及算子理论等学科中具有重要的理论价值和实际意义。

1. 课题的主要研究成果

三、研究的主有内容与创新

1.超齐次核是我们在深入分析了各类重要算子结构的基础上提出的具有广泛意义的新概念，它统一了齐次核、拟齐次核及众多的非齐次核，研究具有超齐次核算子性质，能够使我们从更高视野和更广的角度对许多重要算子进行统一。

2.已发表的6篇文章分别讨论了超齐次积分算子的最佳搭配参数问题、超齐次核有界积分的构造条件、超齐次核高维积分算子的最佳搭配参数的充分必要条件、超齐次核高维积分算子的构造定理，作为应用，还讨论了涉及多元变上函数的Hlibert型积分不等式和涉及高阶偏导数的Hilbert型积分不等式及其相关的重积分算子问题，这些讨论进一步丰富了超齐次核算子的基本理论，是相关理论的重要突破与创新。

3.用抽象的超齐次核奇异积分算子统领分数次积分算子、Hardy型及Hilbert型积分算子等的研究是未来的发展趋势，在流形及齐性空间中展开相应研究是今后的努力方向，我们的工作完全是原创性的，具有较高的学术水平，是前沿性的学术成果，相信对相关领域的研究必定会产生重要的影响。

四、学术价值与应用价值

现代调和分析的研究基于某些函数空间上各种辅助奇异积分算子有界性的研究及相关算子有界性的探讨。我们引入了具有广泛意义的超齐次核新概念，统一了齐次核、拟齐次核和若干的非齐次核，使得我们的讨论可以在一个统一的框架下进行，在一定的条件下统一探讨超齐次核诱导的算子的有界性、范数刻画，并进一步探索各类算子结构特征和有界算子的构建问题，这些研究在调和分析、奇异积分方程理论及算子理论等学科中具有重要的理论价值和实际意义。