课题类别：华商学院校内导师制科研项目
课题名称：非线性抛物方程解的爆破研究
课题批准号：2020HSDS01
经费资助：12万元
项目负责人:欧阳柏平
论文成果名称：
论文1.高维空间上非线性抛物方程在非线性边界条件下解的爆破时间的下界，《内蒙古师范大学学报自然科学汉文版》，2020年11月，CSTPCD
论文2.高维空间上混合抛物系统在非线性边界条件下解的爆破现象，《数学的实践与认识》，2020年12月，CSTPCD
论文3.多孔介质中的一类流体方程组的连续性，《山东大学学报(理学版)》，2021年2月，A类刊物
成果简介：
论文1：高维空间上非线性抛物方程在非线性边界条件下解的爆破时间的下界；论文2：高维空间上混合抛物系统在非线性边界条件下解的爆破现象
一、主要观点
主要研究了在高维空间上具有时变系数的非线性抛物方程和抛物系统在非线性边界条件下解的爆破问题。以往的研究多侧重于低维空间上齐次边界条件和Robin边界条件下考虑解的爆破问题，或者在这些条件下研究常系数的抛物方程和抛物系统解的爆破等问题。由于非线性边界条件的复杂性，导致其处理的难度加大。本文采用的思路是利用Sobolev嵌入不等式和相关的微分不等式技巧进行处理。在实际应用中，解的爆破问题是一个重要内容，特别是下界的研究更是应用数学研究的一个重要方向，其广泛应用于物理学，化学，生物学，天文学，人口动力学等。
二、学术价值
非线性边界条件下抛物方程和抛物系统解的爆破等性态研究是偏微分方程的重要内容。非线性边界物理上可解释为非线性径向定律。具有时变系数或空变系数的非线性抛物方程和抛物系统解的爆破问题有重要的学术价值，在物理学、生物学、天文学等领域也有着重要的应用价值。
三、创新点
采用Sobolev嵌入不等式以及泛函分析方法解决了高维空间上非线性边界条件下具有时变系数的抛物方程和抛物系统解的爆破问题，丰富了有关抛物方程和抛物系统在复杂边界条件下解的爆破研究。
论文3：多孔介质中的一类流体方程组的连续性
一、主要观点
主要研究了有界区域内的多孔介质中的溶解度与温度有关的Brinkman-Forcheimer方程组解的结构稳定性。通过温度与溶解度的估计，得到能量表达式以及该能量表达式所满足的的微分不等式，最后积分该微分不等式得到了方程组的解对边界系数的连续依赖性结果。
以往的研究多集中于Brinkman、Darcy、Forcheimer等方程组的系数对其方程组本身解的连续依赖性等稳定性研究上，而边界条件对方程组的解的稳定性研究方面较少。
二、学术价值
偏微分方程组的结构稳定性主要是探讨其系数、边界条件、方程组本身发生微小变化时，会不会引起方程的解发生很大变化。边界系数对方程组的连续依赖性是结构稳定性的重要内容。实践中，构建某个实际问题的数学模型时误差是不可避免的，所以对其稳定性研究就变得非常重要，具有很大学术价值和应用价值。另外，Brinkman、Forcheimer方程组均是物理上重要的数学模型，有着广泛的学术价值和实际价值。
三、创新点
此类问题已有的研究是在温度T以及盐浓度C均满足齐次纽曼边界条件下，解对Forcheimer系数结构稳定性，其结构主要是基于温度T和盐浓度C的最大值的基础上得到的，而在本文边界条件下，得不到温度Ｔ以及盐浓度Ｃ的最大值，如何处理与它们有关的项，特别是处理边界项并考虑其连续依赖性问题是本文的创新之处。
