广东省普通高校青年创新人才项目结题成果公报（2022KQNCX136）
课题类别：广东省普通高校青年创新人才项目
课题名称：压缩感知领域中信号和图像恢复问题的谱共轭梯度算法应用基础研究
课题批准号：2022KQNCX136
所在单位：广州华商学院数据科学学院
项目主持人：李丹丹
主要成员：夏艳、李远飞、侯春娟、石金诚、陈雪姣、曾鹏、李志青
一、项目研究的目的和意义
谱共轭梯度法是求解大规模无约束优化问题的一种新的迭代算法，它的基本思想是通过在共轭梯度法搜索方向中引入谱参数，得到的一种新方法。该方法既具有共轭性，又具有谱特征，称之为谱共轭梯度法。谱共轭梯度法既保留了经典共轭梯度方法的优势，又可以通过调整共轭参数与谱参数避免其不足。该算法的优点:算法简单有效，存储需求小，且算法生成的搜索方向具有下降性，对二次函数是R-超线性收敛的。数值实验表明，谱共轭梯度法数值上有非单调行为，比共轭梯度法更为有效，尤其和非单调线搜索的结合更有效。正因为这些原因，学者们十分喜欢用谱共轭梯度法去解决实际问题。凸约束非线性方程组作为无约束优化问题的一类经典问题，广泛应用于物理、化学和计算机技术等科学领域。随着科技的发展，压缩感知领域中信号与图像恢复问题已经成为许多实际应用的重要工具，在如天文和医学图像的恢复、文件的编码和恢复等领域有着广泛的应用。
二、 取得的主要成果
Li D, Wu J, Li Y, et al. A modified spectral gradient projection-based algorithm for large-scale constrained nonlinear equations with applications in compressive sensing[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2023, 424: 115006.（中科院二区top期刊A2类）
三、项目研究的主要内容和创新之处
（一）主要内容
大规模凸约束非线性方程组问题和压缩感知领域中稀疏信号重构问题和图像修复问题，有着广泛的应用背景。针对求解这两个问题的共轭梯度算法普遍面临的收敛速度慢、容易受到函数性态影响的科学问题，本项目在前期有关共轭梯度算法的研究基础上，研究谱共轭梯度算法及谱梯度算法。研究内容包括用于产生搜索方向的谱参数和共轭参数的选取问题；设计新的线搜索技术，确定线搜索策略的问题；算法全局收敛性的建立。旨在获得具有高效率的谱共轭梯度算法及谱梯度算法，从而有效提高算法求解大规模凸约束非线性方程组问题和压缩感知领域中图像和信号恢复问题的能力。
（1）谱参数的构造，直接影响着算法整体的效率。本课题设计了一种新的有界谱参数，新谱参数的有界性保证了在合理的范围内，搜索方向的下降，不会太小或者太大。
（2）线搜索是算法中不可或缺的部分，甚至影响着算法的理论性质和数值效果，本课题基于两种经典的线搜索提出了新的线搜索技术，实现了以较少的迭代次数，可获得合适步长的目的。
（3）基于杂交思想，对谱参数进行杂交处理，利用凸组合技术将两种高效谱参数进行杂交，并设计了谱参数的有界公式。其宗旨是将理论性质好和数值效果佳的方法进行杂交，取长补短，以获得效益最大化，从而得到更高效的算法。
（4）证明了新算法的全局收敛性与R线性收敛性，这保证了新算法能快速找到最优解。
（5）新算法在凸约束非线性方程组问题与压缩感知领域中稀疏信号重构问题和图像修复问题的应用。结果表明了新算法在处理实际问题中的有效性与鲁棒性。
（二）创新之处
（1）针对目前求解大规模无约束优化问题的算法收敛速度慢、算法的稳定性弱等问题，通过研究算法中有关共轭参数与谱参数的构造形式，提高算法的收敛速度和稳定性。这项工作是本学科的研究前沿之一，具有较强的创新性。
（2）新算法在利用凸组合技术改进共轭参数与谱参数的构造形式，给出谱参数有界公式，设计新的线搜索技术等方面做了创新。使得所构造的新算法不需要计算和存储矩阵等信息从而减少工作量，并结合了投影技术，从理论上保证算法的全局收敛性。搜索方向具有不依赖线搜索自动具有充分下降性和信赖域特征。此外新算法在处理凸约束非线性方程组问题和压缩感知领域中稀疏信号重构问题和图像修复问题上具有有效性与鲁棒性。
四、成果的应用价值
（1）本课题有关谱共轭梯度算法的有关共轭参数与谱参数的构造方法，可推广到搜索方向或者线搜索技术的设计上，为接下来的研究提供思路。
（2）本课题有关对新算法的理论性质（全局收敛性和R-线性收敛性）的证明，所采取的研究方法和思路，为后续证明其他同类算法的收敛性提供借鉴作用。
（3）本课题构造的谱共轭梯度算法及其相关研究在大规模凸约束非线性问题求解、压缩感知领域中稀疏信号重构问题和图像修复问题都具有广泛的应用潜力，可进一步推广应用到其他领域。
