广东省普通高校重点项目课题成果公报-李远飞（2019KZDXM042）

课题名称：抛物方程和一类伪抛物方程在无界区域上的二择性及连续依赖性研究

课题批准号：2019KZDXM042

课题类别：广东省普通高校重点项目(自然科学） 

学科分类:数学 

课题负责人:李远飞广州华商学院 

主要成员：侯春娟郭连红石金诚陈雪姣李志青曾鹏欧阳柏平 

正文内容： 

一、课题研究的指导思想、理论基础

在1856年，B.de Saint Venant提出了一个著名的数学和力学原理，这个原理一经提出就引起了在应用数学领域内广泛的研究，并且这个原理后来被称为Saint-Venant原理。弹性力学平衡方程解的空间稳定性就与Saint-Venant原理有关。这是研究柱体变形的一个重要方面。因此，空间稳定性以及解的渐近性质的研究是近年来备受关注的一个课题，许多科学家将自己的观点引向了这个课题。随着时间的推移，人们开始关注动力弹性问题或动力热问题，并试图将空间衰减结果推广到新的领域上。事实上，这些研究已经超出了人们对热力学观点的兴趣，并且偏微分方程和系统解的空间渐近行研究正是当前的研究热点之一。值得注意的是，这些结果都属于Phragmén- Lindelöf原理的范畴，该原理为解要么增加要么衰减提供了理论支持。 

本项目也计划研究Saint-Venant原理的另一侧面即稳定性研究。人们在研究数学模型时不仅希望它的解是存在的并唯一，而且也希望系统保持一定的稳定性。因为在模型建立以及简化的过程中，不可避免的会出现一些误差，而且误差不会像错误那样随着测量手段和测量仪器的发展而完全避免。人们关心的是这些误差会不会对系统造成巨大的影响，学术上把这种研究称为结构稳定性研究。结构稳定性的概念最先由Hirsch和Smale提出。文献中已经有很多文章都在研究各种类型的偏微分方程组的连续依赖性或收敛性，他们的研究主要集中在Brinkman, Darcy, Forchheimer方程组和Navier- Stokes方程组。 

本项目继续了这一领域的研究。目的就是把文献中已经取得的结果推广到更加广阔的领域上去，假设柱体的侧面上满足非线性边界条件而不是文献中常用的零边界条件，柱体区域也不再是通常的情形，研究调和方程、热量方程、Stokes方程和一类伪抛物方程的空间渐近性质，得到方程的二择性定理及空间稳定性。本项目所进行的研究虽然有着深厚的学术和实际应用背景，但是我们文献进行了一定拓展和创新，本项目的结果要优于文献中的结果。因此，本项目的研究具有学术意义和实际意义。 

二、课题研究的主要内容和研究方法

1.抛物方程解的存在性研究 

(1)我们考虑了定义在Ω上的有变系数的热量方程，其中Ω⊂ＲＮ（Ｎ≥２）是一个有界的凸区域，并且方程具有非线性边界条件．利用微分不等式技术，首先推导了爆破一定发生的条件，并确定了爆破时间的上界.同时，通过对非线性项做一定的限制，得到了解的全局存在性．当爆破发生时，确定了爆破时间的下界． 

(2)考虑了模拟许多物理现象的耦合退化抛物方程组, 其中方程的解在区域的边界上满足Robin边界条件. 在前人工作的基础上，利用微分不等式技术,得到确保解全局存在的条件. 在对已知数据项做出适当的限制后，如果解在有限时刻爆破，推导了爆破时间的下界. 

2.偏微分方程解的结构稳定性研究 

我们的研究内容分为以下几个方面： 

(1)推导了粘性多孔界面流体在有界区域内解的先验界。我们假设粘性流体的速度很慢，并且由Boussinesq方程控制的。在区域的另一部分上，假设流动满足Darcy方程。借助这些先验界，我们能够证明Boussinesq系数的连续依赖类型的结果λ.采用一阶微分不等式的方法，进一步得到了解连续依赖于界面边界系数的结果α. 

（2）本项目重点关注了湿大气原始方程组的结构稳定性。利用微分不等式方法，得到了湿空气原始方程解对热源和水汽源的收敛性。在此过程中，我们展示了一些基本的数学不等式在偏微分方程中的应用。本项目运用原始方程组解的先验估计，结合能量估计与微分不等式技术，展示了如何控制水汽比，证明了大尺度湿大气原始方程组的解对边界参数的连续依赖性． 

(3)考虑了一个经常被用于天气预报和气候变化含热盐扩散并受外力作用的原始方程组以及完整原始方程组.运用微分不等式和能量估计的方法，得到了方程组解的先验界，并利用这些先验界证明了含热盐扩散方程组对边界参数的连续依赖性和收敛性． 

3.偏微分方程解的空间性质 

我们的研究内容分为以下几个方面： 

(1)考虑了弹性力学中常见的Ⅲ型热弹性方程在一个半无限区域上的空间二择性．假设方程满足一定的初边值条件，利用能量分析法，分别证明了解在一个半无穷柱体上随空间变量要么指数式衰减要么指数式增长.在解的二择性基础上，建立了解对方程组系数的连续依赖性. 

(2)利用能量分析的方法,首先考虑定义在三维半无穷柱体上的波动方程，当空间变量趋于无穷时，证明其解或者指数式增长或者指数式衰减；其次，考虑定义在球面外部区域上的波动方程，证明其解随半径的二择一结果；最后，证明对于非线性弹性方程，二择性定理仍有效． 

(3)考虑定义在一个半无穷柱体上二元混合物中的热传导方程，其中柱体的母线平行于坐标轴.假设方程在柱体的侧面上满足非齐次Neumann边界条件,在柱体的有限端满足非线性条件,运用能量估计的方法,得到了方程的Phragmén- Lindelöf二择性结果.如果在柱体的母线与坐标 轴并不平行，运用能量估计的方法，得到了方程的Phragmén- Lindelöf二择性，即能量隨距柱体有限端的距离要么无限增加要么无限衰减．在衰减的情形下，为了使结果有意义，建立了全能量的上界.利用全能量的上界，证明了方程的解对系数的连续依赖性． 

(4)考虑了定义在一个半无穷柱体上调和方程的渐近性质，其中在柱体的有限端和侧面上施加了不同的非线性边界条件．定义了一个能量表达式，并得到了关于此能量表达式的二阶微分不等式.通过对３种不同类型的无界区域进行分析，运用微分不等式技术和能量估计的方法，得到了调和方程的二择一结果.在衰减的情形，推导了全能量的显式上界. 

(5)考虑了定义在三维半无限柱体上的瞬态热传导方程, 其中在柱体的有限端和侧面施加了非线性条件. 通过对边界条件做出一定约束之后, 建立了关于"能量表达式"的一个偏微分不等式, 并由此不等式得到了热传导方程的二择一结果. 在衰减的情况下, 证明了"全能量"可以由已知数据项控制. 

(6)通过定义一个由调和方程的解组成的能量表达式，运用微分不等式技术，推导出了一个关于能量的一阶微分不等式．对3种不同类型的柱形区域进行分析，得到了方程的解要么呈指数式增长要么呈指数式衰减．在衰减的情形，推到了全能量的显式上界． 

(7)考虑一类定义在三维半无穷柱体上的拟线性方程组,其中假设方程的解在柱体的有限端满足非齐次条件,在柱体的侧面上满足零边界条件.通过对非线性项进行限制,利用微分不等式技术,给出该方程的解在3种不同柱体上的二择一定理,并在衰减的情形下给出全能量的上界. 

（8）考虑了定义在一个半无穷柱体上伪抛物方程的渐近性质，其中在柱体的有限端施加了的非线性边界条件.首先定义了一个能量表达式，并得到了关于此能量表达式的二阶微分不等式.通过对三种不同类型的无界区域进行分析，运用微分不等式技术和能量估计的方法，得到了伪抛物方程的Phragmén- Lindelöf二择一结果. 

在方法上主要使用了能量分析法、先验估计、比较原理、最大值原理、Saint-Venant原理、微分不等式技术等。 

三、课题研究取得的主要成果（主要结论、有何新的论点、较前有哪些突破性进展等）

总体来看，经过项目团队成员的共同努力，本项目取得了良好 

的成果。本项目原计划在CSCD收录和科技核心的期刊上发表8篇文章和1部专著。实际上该项目已经在CSCD收录和科技核心的期刊上发表17篇文章和１部专著，其中2篇为SCI收录（ＪＣＲ分区一区）。在研究内容上以及研究成果上，完成了本项目的预期计划，并对本项目相关的问题做了一定的拓展研究。 

首先,大多数文献研究了常系数的热量方程解的存在性问题，获得了解的爆破率等结果。本项目的工作之一是把常系数的热量方程解的存在性及爆破现象进一步推广到更一般化的热量方程上，二是把文献中的结果推广到了Robin边界条件上，不仅获得了爆破时间的上界而且获得了爆破时间的下界. 

其次，以往的结构稳定性研究多是研究有界区域内的一种流体. 然而，一个域中可能存在多个流体.这些流体有一些相互作用。我们希望看到它们能对彼此产生什么样的影响。因此，对两种界面流体的研究具有实际意义，具有一定的学术价值。 

第三、许多学者的研究主要关注海洋、大气原始方程组在数学上的逻辑性，即方程组的适定性．本项目开始注意到研究原始方程组自身稳定性的必要性.因为在模型建立、简化的过程中不可避免地会出现一些误差，这就需要研究方程组中系数的微小变化是否会引起方程组解的巨大变化.本项目的研究必将进一步推动原始方程组在气象学上的进一步应用，具有一定的应用价值. 

第四、对于偏微分方程解的空间性质研究，本项目做了两方面的创新，一是假设柱体的母线不再平行于坐标轴；二是假设流体在柱体的侧面上与外界发生了局部交换。在上述条件下研究解的空间二择性，在解衰减时，本项目考虑了解的结构稳定性，进一步把有界区域上的结构稳定性推广到了无界区域上。本项目的研究进一步拓宽了偏微分方程应用的范围，具有一定的社会效益。 

总之,本项目的成果不仅在数学上有一定的创新，在物理学、生物科学、气象学、流体力学上也有一定应用。 

四、研究成果推广的范围

本项目的成果还可以进一步推广。 

1.研究偏微分方程在非线性边界条件下解的情况；研究具有奇异势项与非局部源拟线性抛物不等式解的存在性与非存在性。 

2.进一步研究各种类型的原始方程组解的结构稳定性；进一步研究原始方程组解的空间性质，这在文献中尚未得到关注。 

3.当柱体的侧面上不满足零边界条件和母线不平行于坐标轴时，进一步研究非线性偏微分方程解的空间性质。受文献的启发,进一步研究偏微分方程的解在一个球体外部区域上的空间二择性。 

五、主要研究成果目录