抛物方程组的解存在性及稳定性研究（2018KTSCX332）成果公报

课题批准号：2018KTSCX332/HS2018CXCQ24  

课题类别：广东省普通高校特色创新类项目(自然科学）  

学科分类:数学  

课题负责人:李远飞  

主要成员：郭战伟 郭连红 石金诚  

正文内容：     

一、课题研究的指导思想、理论基础  

本项目结合当前学术的热点，对抛物型偏微分方程(简称抛物方程)解的存在性及稳定性进行了研究。因为每一个抛物方程都是研究一个物理，化学甚至生命科学的一个模型。在模型产生之后，人们首先关心的就是这些模型在数学上逻辑统一性，即适定性。本项目的主要工作把在地位空间上和常系数的抛物方程组中取得结果，推广到了变系数和高维空间上去。     

另一方面我们关注几类抛物方程的稳定性问题。这种稳定性与方程对初始条件的连续依赖性不同，已经赢得一个名字——结构稳定性。它主要研究偏微分方程的系数、边界条件、甚至方程自身的连续依赖性和收敛性。研究结构稳定性问题的依据是研究当偏微分方程的系数、边界条件、甚至方程自身发生微小的误差时，会不会引起方程的解发生显著的变化。因此，结构稳定性建立了一类与对初始条件连续依赖性同样重要的稳定性问题。由于测量工具等原因，在建立某个问题的数学模型时误差是不可避免的，所以对方程的稳定性研究显得尤为重要，具有很大应用价值。本项目就天气预报和体现气候变化的原始方程组的稳定性进行了研究。     

二、课题研究的主要内容和研究方法  

一是研究了一类系数依赖于时间的抛物系统解的全局存在性及爆破现象；   

二是究了一类系数依赖于时间的抛物系统解的全局存在性及爆破现象；   

三是研究了具有边界反应Brinkman-Forchheimer型多孔介质的结构稳定性；   

四是研究了原始方程组对粘性系数的连续依赖性；   

五是研究了海洋动力学中二维粘性原始方程组解对热源的收敛性；   

六是研究了大尺度海洋大气动力学三维黏性原始方程对边界参数的连续依赖性；   

七是研究了在一个半无穷柱体上的非标准Stokes流体方程的二择一问题；  

八是研究了Brinkman流体与Darcy流体界面连接共振渗透对流的结构稳定性。   

在方法上主要使用了能量分析法、先验估计、比较原理、最大值原理、Saint-Venant原理、微分不等式技术等。     

三、课题研究取得的主要成果及创新点

（一）主要成果  

基于本项目课题组成员共发表8篇学术论文，其中5篇CSCD期刊，2篇科技核心期刊。从成果看，完成了申报书中预期成果目标。   

在解的存在性方面，主要得到了解的全局存在性，其次确立在爆破发生时爆破时间的上界，建立了爆破时间的下界以及确保爆破不会发生的条件。在稳定性方面，我们把流体方程组的稳定性研究推广到了海洋大气原始方程组之中。在项目研究的前期基础上，我们得到了几类抛物方程空间渐近性质。   

（二）主要创新点  

1.成功的把抛物方程的爆破研究推广到了高维空间和变系数的情形；  

2.研究了原始方程组稳定性，得到了解对方程组系数的灵敏度；  

3.研究了抛物方程的二择一性质，把文献中经常研究的柱体进行了推广。     

四、研究成果推广的范围  

本项目的成果主要是以学术论文为形式的基础研究成果，在项目研究方面还可以进一步深入研究。   

1. 我们只研究了高维空间上一种比较简单的模型，因此，本文的研究还可以向更复杂的模型上进一步推广；   

2.原始方程组的模型有很多种形式，本项目只研究了其中的几种简单的类型；   

3.对原始方程组的空间衰减性目前在学术上还无人涉猎，利用本项目的结果可以做进一步研究；   

4.抛物方程的二择性是一个复杂的课题，本项目只研究了其中一类最简单的线性模型。文献中存在更为复杂的线性模型以及非线性模型需要研究，虽然难度较大，但是这是一个非常广阔的研究方向。     

五、主要研究成果目录